I. प्रस्तावना ज्यामितीय वितरण संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, विशेष रूप से असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण में। यह लेख आंकड़ों में ज्यामितीय वितरण की बुनियादी अवधारणाओं, गुणों और अनुप्रयोगों का परिचय देगा। 2. ज्यामितीय वितरण की परिभाषा और प्रकृति एक ज्यामितीय वितरण एक असतत संभाव्यता वितरण है जो एक स्वतंत्र प्रतिकृति प्रयोग में पहली घटना के लिए एक घटना करने के लिए आवश्यक परीक्षणों की संख्या का वर्णन करता है। यह मानते हुए कि प्रत्येक परीक्षण की सफलता की प्रायिकता p है और विफलता की प्रायिकता q=1-p है, पहली सफलता r के लिए आवश्यक परीक्षणों की संख्या एक ज्यामितीय वितरण का अनुसरण करती है। ज्यामितीय वितरण की प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन है: P(r)=q^(r-1)p, जहां r पहली बार सफल परीक्षणों की संख्या है। ज्यामितीय वितरण में कुछ महत्वपूर्ण गुण होते हैं, जैसे अपेक्षित मूल्य और विचरण। अपेक्षित मान ई (आर) = 1/पी है, जो बड़ी संख्या में प्रतिकृतियों में किए जाने वाले परीक्षणों की औसत संख्या को इंगित करता है। विचरण Var(r)=q/p² है, जो प्रयोगात्मक परिणामों के फैलाव की डिग्री को इंगित करता है। 3. सांख्यिकी में ज्यामितीय वितरण का अनुप्रयोग ज्यामितीय वितरण में आंकड़ों में अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है। सबसे पहले, जुआ खेल, रेडियोधर्मी क्षय और अन्य घटनाओं में इसका व्यावहारिक अनुप्रयोग मूल्य है। इन परिदृश्यों में, होने वाली घटनाओं की संभावना ज्ञात है, और प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है, इसलिए ज्यामितीय वितरण इन घटनाओं का अच्छी तरह से वर्णन करता है। दूसरे, आंकड़ों में ज्यामितीय वितरण का एक और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग विश्वास अंतराल अनुमान है। आंकड़ों में, हमें अक्सर जनसंख्या मापदंडों का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है। ज्यामितीय वितरण का उपयोग समग्र सफलता संभावना पी के विश्वास अंतराल का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। नमूना डेटा के विश्लेषण के माध्यम से, ज्यामितीय वितरण की प्रकृति के साथ संयुक्त, हम पी का एक विश्वास अंतराल अनुमान प्राप्त कर सकते हैं, ताकि जनसंख्या मापदंडों के बारे में अनुमान लगाया जा सके। इसके अलावा, ज्यामितीय वितरण में उत्तरजीविता विश्लेषण में अनुप्रयोग हैं। उत्तरजीविता विश्लेषण किसी घटना की घटना के समय का अध्ययन करने के लिए एक सांख्यिकीय पद्धति है, और अक्सर चिकित्सा, जीव विज्ञान और अन्य क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। उत्तरजीविता विश्लेषण में, ज्यामितीय वितरण का उपयोग जीवन भविष्यवाणी और जोखिम मूल्यांकन के लिए जीवित रहने के समय की संभाव्यता वितरण का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। IV. निष्कर्ष यह लेख आंकड़ों में ज्यामितीय वितरण की बुनियादी अवधारणाओं, गुणों और अनुप्रयोगों का परिचय देता है। एक महत्वपूर्ण असतत संभाव्यता वितरण के रूप में, ज्यामितीय वितरण जुआ खेल, रेडियोधर्मी क्षय और अन्य घटनाओं में व्यावहारिक अनुप्रयोग मूल्य है। इसी समय, यह आंकड़ों में विश्वास अंतराल अनुमान और उत्तरजीविता विश्लेषण के क्षेत्र में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। ज्यामितीय वितरण की प्रकृति और गुणों को समझकर, हम निर्णय लेने के लिए वैज्ञानिक आधार प्रदान करते हुए, विभिन्न प्रयोगात्मक डेटा और घटनाओं को बेहतर ढंग से समझ और विश्लेषण कर सकते हैं।